Intersection de deux cercles

Comment calculer l’intersection de deux cercle ? Cette question peut être un DM mathématique, mais elle est très utile pour faire de la triangulation, dessiner des triangles etc…

Ceux qui veulent les solutions directement sans passer par les démonstrations c’est ici : Solutions.

Nous notons $C_1$ le cercle de centre $O_1$ de coordonnées $(x_1, y_1)$ et de rayon $R_1$, et nous notons le cercle $C_2$ le cercle de centre $O_2$ de coordonnées $(x_2, y_2)$ et de rayon $R_2$. $I$ est le point d’intersection de coordonnée $(x, y)$ ce sont nos deux inconnues.

Demonstration :

Dans un repère orthonormé la distance entre deux point est donné par, $AB = \sqrt{(A_x-B_x)^2 + (A_y-B_y)^2}$ avec $A_x$ la cordonnée des abscisses de $A$ et $A_y$ l’ordonnée du point $A$ et de même pour $B$.

Donc par définition des cercles : $R_1^2 = (x_1-x)^2 + (y_1-y)^2$ et $R_2^2 = (x_2-x)^2 + (y_2-y)^2$. Nous avons donc deux équations et deux inconnues : les cordonnées de $I$. Voici le système à résoudre : $$\begin{cases} R_1^2 =(x_1-x)^2 + (y_1-y)^2 \\R_2^2 = (x_2-x)^2 + (y_2-y)^2. \tag{0}\end{cases}$$

On développe les rayons avec les identités remarquables ,

$$\begin{cases} R_1^2 = x_1^2-2x x_1 + x^2 + y_1^2-2y y_1 + y^2 \\ R_2^2 = x_2^2-2x x_2 + x^2 + y_2^2-2y y_2 + y^2. \tag{1} \label{R1R2dev}\end{cases}$$

Et on remarque que si on soustrait la deuxième équation à la première le $x^2$ et $y^2$ disparaissent, $$R_1^2-R_2^2 = x_1^2-x_2^2 + y_1^2-y_2^2-2xx_1 + 2xx_2-2yy_1 + 2yy_2. \tag{2} \label{R1minusR2}$$

Puis on peut factoriser les $x$ et les $y$, l’équation devient : $R_1^2-R_2^2 = x_1^2 -x_2^2 + y_1^2-y_2^2 + 2x(x_2-x_1) + 2y(y_2-y_1)$. On va donc isoler $y$ dans cette équation,

$$\begin{align} 2y(y_2-y_1) & = R_1^2-R_2^2-x_1^2 + x_2^2-y_1^2 + y_2^2-2x(x_2-x_1) \\ \\ y & = \frac{R_1^2-R_2^2-x_1^2 + x_2^2-y_1^2 + y_2^2}{2(y_2-y_1)}-x \cdot \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1} \\ \\ y & = p-qx, \tag{3} \end{align}$$

avec les valeurs de $p = \frac{R_1^2-R_2^2-x_1^2 + x_2^2-y_1^2 + y_2^2}{2(y_2-y_1)}$ et $q = \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$ qui sont des constantes. Notez qu’on divise par $2(y_2-y_1)$ il faut donc que cette valeur soit différente de zéro, c’est à dire que les deux disques ne soient pas sur la même ordonnée. Si c’est le cas nous verrons par la suite comment procéder.

Maintenant nous pouvons élever $y$ à la puissance deux $y^2 = p^2-2pqx + q^2x^2$ et le remplacer ainsi que sa puissance de 2 dans l’équation impliquant $R_1$ dans l’Eq. $\ref{R1R2dev}$,

$$\begin{align} R_1^2 & = x_1^2-2x x_1 + x^2 + y_1^2-2 \boldsymbol{y} y_1 + \boldsymbol{y^2} \\ \\ R_1^2 & = x_1^2-2x x_1 + x^2 + y_1^2-2 (p-qx) y_1 + p^2-2pqx + q^2x^2 \\ \\ 0 & = x^2 (q^2 + 1) + x (2qy_1-2x_1-2pq) +x_1^2 +y_1^2-2py_1-R_1^2 + p^2. \tag{4} \end{align}$$

On obtient clairement une équation du second degré avec $a = (q^2 + 1)$, $b = (2qy_1-2x_1-2pq)$ et $c = (x_1^2 + y_1^2-2py_1-R_1^2 + p^2)$. $$ax^2 + bx + c = 0. \tag{5}$$

Pour résoudre cette équation on pose $\Delta = b^2-4ac$ le signe de delta donne s’il y a deux, un ou zero point d’intersection, pour ne pas perdre en généralité on garde la solution à deux points,

$$x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \,\, \textrm{ou} \,\, x = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}. \tag{6}$$

Après avoir obtenu $x$ on l’injecte dans $y$, $$y = p-q \cdot \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \,\, \textrm{ou} \,\, y = p-q \cdot \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}. \tag{7}$$

Nous voilà avec notre solution qui montre en fonction du signe de $\Delta$ la position des points d’intersection des cercles.

Cas où $y2-y1 = 0$ :

Si les deux cercles sont sur la même ordonnée, l’équation $\ref{R1minusR2}$ devient car $y_1-y_2 = 0$ et $y_1^2 = y_2^2 \Leftrightarrow y_1^2-y_2^2 = 0$, $$R_1^2-R_2^2 = x_1^2-x_2^2 +2x(x_2-x_1). \tag{8}$$

C’est alors que : $$x = \frac{R_1^2-R_2^2-x_1^2 + x_2^2}{2(x_2-x_1)} = p, \tag{9}$$

avec $p$ constant. Alors il suffit de réinjecter $p$ dans l’équation $\ref{R1R2dev}$ impliquant $R_1$,

$$\begin{align} R_1^2 & = x_1^2-2 \boldsymbol{x} x_1 + \boldsymbol{x^2} + y_1^2-2y y_1 + y^2 \\ \\ R_1^2 & = x_1^2-2p x_1 + p^2 + y_1^2-2y y_1 + y^2 \\ \\ 0 & = y^2 + y (-2y_1) + x_1^2+p^2-2px_1 + y_1^2-R_1^2, \tag{10} \end{align}$$

avec $a = 1$, $b = (-2y_1)$ et $c = (x_1^2+p^2-2px_1 + y_1^2-R_1^2)$. Il suffit de résoudre l’équation avec $\Delta = b^2-4ac$ et donc par conséquent,

$$y = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \,\, \textrm{ou} \,\, y = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}. \tag{11}$$

Nous voilà avec notre nouvelle solution.

Solutions :

Je vous résume les solutions :

Soit les cercles $C_1$ de centre $(x_1, y_1)$ et de rayon $R_1$, et $C_2$ de centre $(x_2, y_2)$ de rayon $R_2$, les points d’intersection sont $(x, y)$

Deux possibilités soit $y_1 \ne y_2$ :

• $p = \frac{R_1^2-R_2^2-x_1^2 + x_2^2-y_1^2 + y_2^2}{2(y_2-y_1)}$ et $q = \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$.
• $a = (q^2 + 1)$ ; $b = (2qy_1-2x_1-2pq)$ et $c = (x_1^2 + y_1^2-2py_1-R_1^2 + p^2)$.
• $\Delta = b^2-4ac$.
• $x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \,\, \textrm{ou} \,\, x = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• $y = p-qx$.

soit $y_1 = y_2$ :

• $x = \frac{R_1^2-R_2^2-x_1^2 + x_2^2}{2(x_2-x_1)} = p$.
• $a = (1)$ ; $b = (-2y_1)$ et $c = (x_1^2+p^2-2px_1 + y_1^2-R_1^2)$.
• $\Delta = b^2-4ac$.
• $y = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \,\, \textrm{ou} \,\, y = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Vous voilà prêt à calculer n’importe quelle intersection de cercle !